BSE antara Pro dan Kontra
01
Oct

Subgrup Sylow, Teorema Cauchy, dan Teorema Sylow

Diberikan G grup hingga yang mempunyai order n. Diberikan bilangan prima p. Suatu subgrup H dari G disebut p-subgrup jika H mempunyai order p^k, untuk suatu bilangan bulat nonnegatif k. Suatu subgrup H dari G disebut p-subgrup Sylow jika H mempunyai order p^k, untuk suatu bilangan bulat nonnegatif k sedemikian hingga p^k membagi n dan p^{k+1} tidak membagi n, atau dengan kata lain, p^k adalah bentuk pangkat terbesar dari p sedemikian hingga p^k membagi n. Jika G berorder suatu pangkat dari p, maka G disebut dengan p-grup.

Teorema Cauchy: Diberikan G grup hingga yang mempunyai order n. Diberikan bilangan prima p. Jika p membagi n, maka G memuat suatu elemen yang berorder p.

Teorema Sylow Pertama: Diberikan G grup hingga yang mempunyai order n. Diberikan bilangan prima p. Jika p^k membagi n dan p^{k+1} tidak membagi n, untuk suatu bilangan bulat nonnegatif k, maka terdapat H subgrup dari G sedemikian hingga order H adalah p^k.

Teorema Sylow Kedua: Jika H adalah subgrup dari grup hingga G, dan H merupakan p-grup, maka H termuat dalam suatu p-subgrup Sylow dari G.

Teorema Sylow Ketiga: Sebarang dua p-subgrup Sylow dari suatu grup hingga G saling konjugat. Jika s menyatakan banyaknya p-subgrup Sylow yang berbeda dari G, maka s kongruen dengan 1 modulo p, yaitu s=1+kp, untuk suatu bilangan bulat k.


Keterangan:
Definisi: Diberikan A dan B subset tak kosong dari grup G. Himpunan A dikatakan konjugat dengan B jika gAg^{-1}=B, untuk suatu g \in G.

Buktinya menyusul… :)

Sumber:

  1. Baumslag, B., and Chandler, B., 1968, Schaums Outline Series: Theory and Problems of Group Theory, McGraw-Hill
  2. Fraleigh, J.B., 2000, A First Course in Abstract Algebra, Sixth Edition, Addison-Wesley

Berita | RSS 2.0 | Respond | Trackback |

Leave a Reply